SAYISAL İŞARET İŞLEME VE UYGULAMALARI - Ahmet H. KAYRAN - Ender M. EKŞİOĞLU
ÖNSÖZ
Sayısal işaret işleme ve uygulamaları, 1970’li yıllardan başlayarak mühendislik eğitiminde yüksek lisans seviyesinde uzmanlık dersleri olarak yer bulmaya başlamıştır. Günümüzde konunun kazandığı öneme paralel olarak, sayısal işaret işleme derslerinin lisans seviyesinde müfredatın ayrılmaz bir parçası olduğunu görüyoruz. Bunda konunun kazandığı önem ve yaygınlığın yanı sıra, tam bir olgunluğa erişmiş olmasının da payı vardır. İşaret işleme dersleri teoriyle pratiğin uygun bir şekilde dengelenebileceği ortamlar olarak görülmektedir. Geliştirilmiş olan eğitim amaçlı bilgisayar programları, öğrencilerin teorik bilgileri bilgisayarda kolayca uygulamalara dönüştürebilmelerini sağlamaktadır. Bu özellikleriyle giderek önem kazanan sayısal işaret işleme konusunda yabancı dillerde yetkin kitaplar mevcuttur. Ancak dilimizde kaynak sayısı oldukça azdır. Gözlemlediğimiz bu boşluğu biraz olsun gidermek amacıyla elinizdeki kitabı hazırladık. Bu kitap sayısal işaret işleme konusuna ilişkin kapsamlı giriş bilgilerini sunmayı amaçlamaktadır. Kitap mühendislik eğitimi gören öğrencilerin beşinci yarıyıldan başlayarak izleyebilecekleri düzeyde ve bu alanda başvuracakları ilk kitap olarak düşünülmüştür.
Birinci bölümde ayrık-zamanlı işaretlere ve sistemlere ilişkin giriş bilgileri verilmektedir. Sayısal işaret işlemede çok önemli bir rol oynayan ayrık-zamanlı doğrusal zamanla-değişmeyen sistemler ikinci bölümde anlatılmaktadır. Bu bölümde, ayrık-zamanlı bir sistemin giriş ve çıkış ilişkisini belirleyen birbirinden farklı fakat eşdeğer yöntemlere değinilmektedir.
Analog işaretlerin analizinde temel olan Fourier serisi ve Fourier dönüşümü üçüncü bölümde anlatılmaktadır. Fourier serisi katsayılarının bulunması gösterilmekte ve Fourier dönüşümüne ait özellikler ve önemli analog işaretlerin Fourier dönüşümleri tablolarda verilmektedir. Ardından ayrık-zamanlı işaretler için ayrık- zaman Fourier serisi açılımı ve ayrık-zaman Fourier dönüşümü tanıtılmaktadır. Ayrık-zaman Fourier dönüşümü özellikleri ve önemli dönüşüm çiftleri detaylı olarak incelenmektedir. Ayrık-zamanlı sistemler için frekans cevabı tanımı yapılmakta ve ayrık-zaman Fourier dönüşümünün bazı önemli uygulamaları açıklanmaktadır. Bir işaretin zaman veya frekans bölgelerinden birinde örneklenmesinin diğer bölgeye olan etkisi dördüncü bölümde incelenmektedir, Zaman ve frekans bölgelerinde örtüşme ile Shannon örnekleme teoremi bu bölümde açıklanmaktadır. Analog işaretten örnekleme vasıtasıyla ayrık-zamanlı işarete geçiş ve geriye dönüş işlemleri ve bu işlemlerin frekans bölgesi karşılıkları detaylı olarak incelenmektedir.
Beşinci bölümde sayısal işaret işlemede önemli bir rol oynayan z-dönüşümü tanıtılmaktadır, z-dönüşümünün uygulamaları ise, altıncı bölümde ele alınmaktadır. Ayrık-zamanlı sistemin transfer fonksiyonunun bulunması ve ayrık-zaman Fourier dönüşümü ile z-dönüşümü arasındaki ilişki bu bölümde incelenmektedir.
Yedinci bölümde ayrık Fourier dönüşümünün (AFD) tanımı ve temel özellikleri tanıtılmaktadır. Ayrık Fourier dönüşümünün hesaplanmasını etkin şekilde gerçek¬leştiren hızlı Fourier dönüşümü (HFD) algoritmaları sekizinci bölümde ayrıntılı olarak verilmektedir. Dokuzuncu bölümde sayısal süzgeçlerin gerçekleştirilmesine ilişkin farklı yapılar tartışılmaktadır. Onuncu bölümde sayısal süzgeç tasarımında genel ilkeler açıklanmaktadır. Sonlu-impuls cevaplı (FIR) süzgeçlere ilişkin önemli özellikler ve tasarım yöntemleri onbirinci bölümde ele alınmaktadır. Onikinci bölümde sonsuz impuls cevaplı (IIR) süzgeç tasarımı tartışılmaktadır. Bu bölümde, çeşitli dönüşümler kullandarak analog süzgeçlerden IIR sayısal süzgeçlerin elde edilmesi aşamaları öğretilmektedir. Sınırlı kelime uzunluğunun ortaya çıkardığı hatalar onüçüncü bölümde açıklanmaktadır. Sayısal süzgeçlere özgü bir kavram olan limit salınımlar örneklerle sergilenmektedir.
Kitapta, bölüm içi örneklerinde ve bölüm sonlarında sayısal işaret işleme bil¬gisayar uygulamalarına yer verilmiştir. Bu uygulamalarda MATLAB® programı esas alınmıştır. MATLAB bilim ve mühendislik uygulamaları için geliştirilmiş matris tabanlı bir paket programdır. Programın adı Matrix Laboratory kelimelerinin kısaltılmasın¬dan gelmektedir. MATLAB’in kullandığı programlama sözdiziminin öğrenilmesi C ve benzeri programlama dillerinin öğrenilmesinden daha kolaydır. MATLAB, önceden yazılmış kodların yeni komut ve uygulamaların geliştirilmesinde kullanımına olanak vermekte ve sonuçların grafiksel gösterimini çok kolaylaştırmaktadır. MATLAB matris ve vektör tabanlı olduğu için, sayı dizileriyle çalışmanın doğal olduğu sayısal işaret işlemenin en yaygın kullanılan paket programlarından biri olmuştur. Kitapta MATLAB ile programlama örnekleri ve alıştırmalarına yer vererek bilgisayarların sayısal işaret işleme pratiğinde kullanımı için öğrencilere bir giriş sağlanacaktır.
Kitapta kullanılan MATLAB dosyalarına ve kitapla ilgili diğer bilgilere www2.itu.edu.tr/~kayran/kitap adresinden ulaşabilirsiniz. Kitaptan ders kitabı olarak faydalanacak olan öğretim üyeleri,
[email protected] adresine e-posta atarak hazırlanan ders notunu bilgisayar dosyası olarak alabilirler. Kitapla ilgili düzeltmelerinizi aynı adrese bildirebilirsiniz. Kitabın metnini İstanbul Teknik Üniversitesinde verilen derslerde kullanma imkânı bulduk. Metnin düzeltilmesinde yardımcı olan tüm meslektaşlarımıza ve öğrencilerimize teşekkür ederiz.
Ahmet H. KAYRAN
Ender M. EKŞİOĞLU
İÇİNDEKİLER
Ayrık-Zamanlı İşaretler ve Sistemler
Giriş
İşaretlerin Sınıflandırılması
İşaretin Boyutu
İşaretin Türleri
Ayrık-Zamanlı İşaretler
Sayısal İşaretlere Örnekler
Periyodik Diziler
Ayrık-Zamanlı İşaret Üzerinde İşlemler
Dizilerin Enerjisi ve Ortalama Gücü
Ayrık-Zamanlı Sistemler ve Özellikleri
Doğrusallık
Zamanla Değişmezlik
Nedensellik
Kararlılık
Gerçeklenebilirlilik
Problemler
Ayrık-Zamanlı Doğrusal Zamanla-Beğişmeyen Sistemler
DZD Sistemlerin Birim İmpuls Cevabı Yöntemiyle Modellenmesi
Konvolüsyon Toplamı ve Özellikleri
Birim İmpuls Cevabı ve Kararlılık
Birim İmpuls Cevabı ve Nedensellik
Sonlu ve Sonsuz Uzunluklu İmpuls Cevaplı Sistemler
Fark Denklemleriyle Belirlenen Sistemler
Sistem Cevabının Hesaplanması
Doğal Cevap
Zorlanmış Cevap
Toplam Cevap
Birim İmpuls Cevabının Hesaplanması
Durum Değişkenleri Yöntemi
Durum Vektörünün Doğrusal Dönüşümü
Zaman Bölgesi Analizi
Problemler
Dik Vektör ve İşaret Uzayları
Dik Vektör Uzayı
Dik İşaret Uzayı
Genelleştirilmiş Dik Açılımlar
Fourier Serisi
Fourier Dönüşümü
Ayrık-Zaman Fourier Serisi
Ayrık-Zaman Fourier Dönüşümü
Ayrık-Zamanlı DZD sistemlerin Frekans Analizi
Ayrık-Zaman Fourier Dönüşümü Uygulamaları
Problemler
Zaman ve Frekans Bölgelerinde Örnekleme ve Örtüşme
Zaman Bölgesinde Örnekleme
Frekans Bölgesinde Örtüşme
Analog İşaretin Geri Elde Edilmesi ve Örnekleme Teoremi
Örnekleme ve Ayrık-Zamanlı İşaret
Ayrık-Zamanlı İşaretin Oluşturulması
Ayrık-zamanlı İşaretten Analog İşarete Dönüş
Frekans Değişkenleri Arasındaki İlişki
Frekans Bölgesinde Örnekleme
Zaman Bölgesinde Örtüşme
Problemler
z-Dönüşümü
z-Dönüşümünün Tanımı
z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesi
Rasyonel z-Dönüşümleri ve Sıfır-Kutup Gösterilimi
Yakınsaklık Bölgesi Örnekleri
z-Dönüşümünün Özellikleri
Ters z-Dönüşümü
Kısmi Kesirlere Açılım
Kuvvet Serileri
Fark-Denklemi Çözümü
Kontur İntegrali Kullanarak Ters z-Dönüşümü
Rezidü Metodu
Problemler
z-Dönüşümünün Uygulamaları
Transfer Fonksiyonu
Fark-Denklemlerinden Durum Denklemlerinden Devre Yapısından Kararlılık
Zaman Bölgesinde Kararlılık
DZD Sistem için z-Bölgesinde Kararlılık Testi
Ayrık-Zamanlı İşaretin Fourier Dönüşümünün Bulunması
Sıfırlar ve Kutuplar Yardımıyla Gösterilim
Ters Sistem
Tüm-Geçiren Süzgeçler
Minimum Fazlı Sistemler
Kararsız Sistemlerin Kararlı Duruma Getirilmesi
Resiprok Kutuplar Yöntemi
Sayısal Süzgeç Çıkışının Transfer Fonksiyonu Yardımıyla Hesaplanması
Tek-taraflı z-Dönüşümü
Problemler
Ayrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümünün Tanımı
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanımı
z-Dönüşümü, AZFD ve AFD Arasındaki İlişki
Periyodik İşaretlerin Örneklenmesi ile AFD
Dik Fonksiyon Açılımı Olarak AFD
AFD Temel Özellikleri
Doğrusallık Özelliği
Simetri Özellikleri
Dairesel Öteleme
Dairesel Konvolüsyon
İki Sonlu Dizinin Konvolüsyonu
AFD İşlemindeki Yaklaşıklıklar
Çit ve Sızma Etkileri
AFD ile Fourier Dönüşümü Arasındaki Bağlantı -
Eşdeğerlik Koşulları
Zaman ve Frekans Seçiciliğine İlişkin Belirsizlik
Prensibi
Problemler
Hızlı Fourier Dönüşümü
Matris Formunda AFD Gösterilimi
Matris Formunda Ters AFD Gösterilimi
AFD ve Ters AFD İlişkisi
Zamanda Desimasyonlu HFD
AFD ile HFD Karşılaştırması
Frekansta Desimasyonlu HFD
Matris Gösterilimi Yardımıyla HFD
Problemler
Sayısal Süzgeçlerin Gerçekleştirilmesi
AFD Yardımıyla Konvolüsyon
Sonlu Bir Dizinin Sonsuz Bir Dizi ile Konvolüsyonu
Sayısal Süzgeç Yapıları ve Özellikleri
Doğrudan ve Kanonik Gerçekleştirme
Seri ve Paralel Gerçekleştirme
Kafes Süzgeç Yapıları
Problemler
Sayısal Süzgeç Tasarımında Genel İlkeler
İdeal Sayısal Süzgeçler
İdeal Alçak Geçiren Süzgeç
Fiziksel Gerçekleştirme
İdeal Olmayan Sayısal Süzgeçler
Geçici Performans
Problemler
FIR Süzgeç Tasarım Metodlan
FIR Süzgecin Özellikleri
FIR Süzgeçlerde Doğrusal Faz
Doğrusal Fazın Sıfırlara Etkisi
FIR Süzgecin Avantajları
Fourier Serisi Metodu
Pencere Fonksiyonu Kullanımı
Frekans Örnekleme Metodu
Süzgeç Transfer Fonksiyonun Gerçekleştirilmesi
Doğrusal Fazlı FIR Süzgeç Tasarımı
Tasarımın İyileştirilmesi
Optimum Süzgeç Tasarımı
Chebyshev Yaklaşıldık Problemi
Problemler
IIR Süzgeç Tasarım Metodları
Giriş
Değişmez-İmpuls-Cevabı Metodu
Değiştirilmiş Değişmez-İmpuls-Cevabı Metodu
Uygunlaştırılmış z-Dönüşümü Metodu
Bilineer Dönüşüm
Bilineer Dönüşümün Özellikleri
Sarma Etkisi ve Önsarma
Frekans Dönüşümleri
Problemler
Sayısal Süzgeçlerde Sınırlı Kelime Uzunluğunun Etkileri
Giriş
Sayıların Gösterilimi
Sabit-Noktalı Aritmetik
Kayan-Noktalı (Floating-Point) Aritmetik
Bilgisayarlarda Sayıların Gösterilimi
Sayıların Kuvantalanması
Kesme (Truncation) Durumunda Kuvantalama
Yuvarlatma (Rounding) Durumunda Kuvantalama
Katsayıların Kuvantalanması
İşlemlerin Kuvantalanması .
İşaret Genliğinin Ölçeklenmesi
Lj -Normuna Göre Ölçekleme
Lco-Normuna Göre Ölçekleme
L2-Normuna Göre Ölçekleme
Korelasyonlu Gürültü ve Limit Salınımlar
Birinci Derece IIR Sayısal Süzgeçlerde Kuvanta¬lama Nedeniyle Limit Salınımlar
İkinci Derece IIR Sayısal Süzgeçlerde Sıfır Giriş İçin
Limit Salınım Kavramı
Problemler