SAYISAL ANALİZ - Mehmet Bakioğlu
ÖNSÖZ
Sayısal Analiz kitabının ikinci baskısında kitabın genel karakteri değişmedi. Buna karşın bazı konular genişletildi ve bazı problemler eklendi. ABET kurallarından biri derslerde bilgisayar kullanılmasının teşvik edilmesidir Bu nedenle birçok ders kitapları, bilhassa yabancı ülkelerde, sonuna sayısal analiz ile ilgili konular ekledi ve çözümü öğrenciye bırakılan problemlerin bir kısmının bilgisayar ile yapılmasını istedi. Dolayısıyla sayısal analizin önemi arttı ve gün geçtikçe de artmaktadır. Sayısal işlemler ile uğraşan bir bilim dalına, klasik anlamda analiz kelimesinin ne derecede uygun düştüğü sorusuna cevap ise sayısal analiz sadece aritmetik işlemlerden ibaret olmayıp, kendi problemleri ile uğraşırken klasik anlamda analizler yaptığı ve elde edilen ifadeler arasında bağıntılar bulunduğudur. Kısaca sayısal analizin bir takım formül koleksiyonundan ibaret olmadığıdır. Kitaptaki konular bu görüş altında işlendi.
Çözülen problemlerin sonucu analitik olarak elde edilse bile; bazı analitik çö¬zümlerin sayısal sonuçlarını elde etmek pratik bakımdan imkansızdır. Örne¬ğin; seri şeklindeki çözümde serinin yavaş yakınması veya analitik bir ifadenin çok karışık olması gibi. Analitik çözümler basit olsa bile, örneğin trigonometrik veya logaritmik fonksiyonlar gibi, bazı basit fonksiyonların hesabı da ayrı bir problemdir. Bütün bu durumlarda sayısal analizin önemi ortaya çıkmaktadır.
Sayısal analiz hakkında tartışılan iki konu bulunmaktadır. Bunlardan birincisi sayısal işlemler ile uğraşan bir bilim dalma, klasik anlamda analiz kelimesinin ne derecede uygun düştüğüdür. İkincisi ise sayısal analiz ile çok uğraşan bazı kişilerin sayısal analizi bir sanat ve bilim (an art and a Science) olarak tanım¬laması ve buna karşıt olarak, sayısal analiz bilim olmaya yetecek derecede di¬sipline olmadığı gerçeğini gizlemek için mi sanat ve bilim olarak tanımlanmak¬tadır diye sorulmasıdır.
Yukarıda açıklanan tartışmalara verilen cevaplar: Sayısal analizin sadece aritmetik işlemlerden ibaret olmayıp sayısal analiz, kendi problemleri ile uğra¬şırken klasik anlamda çeşitli analizler yaptığı ve elde edilen ifadeler arasında bağıntılar bulunduğudur. Kısaca sayısal analizin bir formül koleksiyonu olma¬dığıdır. Aynı konuda çeşitli formüller ve yöntemler arasında uygun olanım seçmek tecrübe gerektiren bir durum gibi gözükse de yinede sağlam bir sayısal analiz bilgisi gerektirmektedir. Bu durum işin sanat yönünü azalmaktadır. Ayrıca bilgisayarlara erişimin kolaylaşması, hazır program paketleri sayısal analizin sanat yönünü azaltmıştır.
Kitabın üslubuna gelince: Newton’a kadar yazılan kitaplarda doğa olayları ko¬nuşma lisanı ile açıklanırdı. Daha sonra konuşma lisanının doğa olaylarını açıklamasında çok hantal olduğu anlaşıldı. Bu nedenle; olaylar, çok esnek ve kesin olan matematik lisanının objeleri ile açıklanmaya başlandı. Matematik lisanının objeleri sık kullanıldığından birçok öğrenci, bilhassa mühendislik fa¬kültesi öğrencileri, ifade zorluğu yaşamaktadır. Öğrenci problem çözmekte fa¬kat kullandığı bağıntıların ne anlama geldiğini matematik obje kullanmadan sözlü veya yazılı ifade edememektedir. Sınavlarda metin sorularına, bildikleri cevabı metin olarak ifade edip yazamamaktadır. Tez yazarken tezin formül kısmını yazıp metin kısmında çok zorlanmaktadırlar; hatta tezi yapmak için verdiği zamandan daha fazlasını metin yazmak için vermektedirler. Bütün bu olumsuz durumları biraz önlenmek için kitapta matematik objeler ve bağıntı¬lar mümkün olduğu kadar metin olarak da ifade edildi, atıf yapılırken sembol yerine büyüklüğün ismi yazıldı. Kısaca metin kısmının yazımına önem verildi.
Kitapta çözülmüş 108 problem çözümü öğrenciye bırakılmış 198 problem olmak üzere toplam 306 problem bulunmaktadır. Kitabın ikinci baskısına paralel ola¬rak kitapta çözülmemiş problemlerin çözümünü içeren çözüm kitabı hazırlandı.
Araştırma görevlisi Arcan Yanık, kitabın basılmadan önceki yazı taslağını okudu gözden kaçan gramer ve imla ve hatalarının bulunmasında yardımcı oldu. Ayrıca bazı yeni problemlerin çözümünde de yardımcı oldu. Kendisine teşekkür ederim.
Kitapta gözden kaçan hataların bulunma olasılığı fazladır. Bu hatalardan do¬layı okuyuculardan şimdiden özür dilerim.
Mehmet Bakioğlu Maslak, Ağustos 2011
Sayısal analiz 1950 yılından itibaren bilgisayarların gelişimine paralel bir ge¬lişme göstererek bu günkü konumuna gelmiştir. Bu günkü geldiği konum ise araştırma ve uygulama alanlarının vazgeçilmez bir parçası olmasıdır. Eskiden bilinen fakat hesap yoğunluğu nedeniyle kullanılamayan veya geliştirilmeyen sayısal yöntemler, bilgisayarların yardımı ile kullanılabilir hale gelmiş ve ge¬liştirilmiştir. Bir çok problemin kapalı çözümünün bulunamaması da sayısal yöntemlerin önemini artırmıştır. Ayrıca kapalı çözümleri bulunan bazı prob¬lemler de bile sonuçlarının incelenmesi sayısal analiz yardımı ile yapılmakta¬dır. Sayısal analizin tarih boyunca gelişimi, sayısal analizdeki kavramlar, dü-şünceler ve tanımlar kitabın ilk bölümünde anlatıldı.
Kitabın yazılma gayesi lisans, yüksek lisans ve doktora öğrencileri ile araştır¬macılara sayısal yöntemleri tanıtmaktır. Kitapta ağırlıklı olarak sayısal yön¬temler üzerinde durulmuş olup algoritmalar üzerinde durulmamıştır. Bunun nedeni: Kitabın gayesinin, kullanıcıya bilgisayar programı yaptırmak olmayıp, kullanıcının sayısal yöntemlere hakim olmasını sağlamaktır. Sayısal yöntemle¬re hakim olan bir kullanıcı hazır program paketlerini etkin bir şekilde kulla¬nabilir. Kitapta, ayrıca, konu ile ilgili hazır program paketleri hakkında bilgi¬ler de verildi. Kitap, hazır program paketlerinin bir kullanım kılavuzu olmadı¬ğından, program paketleri hakkında verilen bilgiler çok kısa tutuldu.
Kitapta örnek problemlerin çözümünde elektronik tablo kullanıldı. Elektronik tablo; bir çok ara işlemleri göz önünde bulundurur, kullanımı kolaydır ve prog¬ram yapmaya gerek kalmaz. Dolayısıyla elektronik tablo ile yapılan çözümler konunun daha kolay anlaşılmasını sağlar. Ayrıca elektronik tablo ile elde edi¬len sonuçlar uygulama ve araştırma problemlerinin bir çoğu için de yeterlidir. Konular işlenirken elektronik tabloya ek olarak kitapta adı geçen paket prog¬ramlardan bir veya ikisi üzerinde de çalışılırsa kullanıcı program paketlerini kullanmaya hazır hale gelir. Ayrıca şu noktayı da gözden kaçırmamak gerekir: Gerektiğinde, özellikle araştırmalarda, kullanıcı kendi programını yapabilmeli veya kaynak kodu verilen programların bazı kısımlarını değiştirebilmelidir.
Kitabın yazılımında iki tip punto kullanıldı. İleri seviyedeki konular ve prob¬lemler küçük puntolar ile yazıldı. Küçük puntolu metinler kitabın ilk okunu¬şunda atlanabilir. Atlama kitabın bütünlüğünü bozmaz.
Kitap bir veya iki sömestrlik derslere göre hazırlandı. Bir sömestrlik derste bazı konular atlanabilir. Örneğin; seriler, özdeğer ve özvektörler, Chebyshev yaklaşımı, Fourier yaklaşımı, başlangıç değer problemleri, sınır ve özdeğer problemleri, sonlu elemanlar gibi konular. Atlanacak konular dersi alan öğren¬cilerin beklentisine uygun olmalıdır. Bu nedenle bir sömestr devam eden ders¬lerin organizasyonu için sabit bir ders planı vermek uygun olmaz; ders planı birden fazladır. İki sömestre devam eden derste bütün konular işlenebilir. Bu durumda birinci sömestrde işlenmeyen konular ikinci sömestrde işlenir.
Frof.Dr. Yalçın Aköz ve Prof.Dr. Tevfik Ayan, kitabın ikişer bölümünü okuyup değerli görüşlerini bildirdiler. Kendilerine teşekkür ederim.
Kitapta gözden kaçan hataların bulunma olasılığı çok fazladır. Bu hatalardan dolayı okuyuculardan şimdiden özür dilerim.
Mehmet Bakioğlu
Maslak, Ekim 2003.
YAZAR HAKKINDA
Prof. Dr. Mehmet Bakioğlu, 1966 yılında İstanbul Teknik Üniversitesi, inşaat Fakültesinden Yük. inş Müh. unvanı ile mezun oldu. 1971 yılında Tatbiki Mekanik Bilim Dalında doktorasını verdi. 1973-1976 yıllarında Amerika Birleşik Devletlerinde bulunan Lehigh Üniversitesinde kırılma mekaniği konusunda doktora sonrası çalışması yaptı. 1977 yılında Mukavemet bilim dalından doçentliğini aldı. 1991 yılında inşaat Fakültesi, Mekanik Anabilim Dalı'na (eski adıyla Teknik Mekanik ve Genel Mukavemet Kürsüsü'ne) profesör olarak atandı ve 2005 yılında Mekanik Anabilim Dalı nın başkanı oldu. 2011 yılında emekli oldu.
Mehmet Bakioğlu nun araştırma yaptığı konular; elastisite teorisi, sayısal analiz, kırılma mekaniği ve akıllı yapılar olup bu konularda uluslararası yayınlar: bulunmaktadır. Yazarın; statik, dinamik, mukavemet, sayısal analiz ve bilgisayar konularında kitapları bulunmaktadır. Mehmet Bakioğlu'nun Mühendislik Mekaniği-Statik isimli kitabı, Türkiye Bilimler Akademisi nin 2008 yılında verdiği Üniversite Ders Kitapları Telif ve Çeviri Eser ödülünü almıştır.
İÇİNDEKİLER
GİRİŞ
TARİHÇE
KONU ve TANIMLAR
SAYISAL ANALİZDE KULLANILAN BAZI KAVRAMLAR
DÜŞÜNCELER ve TANIMLAR
BAZI TEOREMLER
HATA ANALİZİ
GİRİŞ
HATA KAYNAKLARI
MUTLAK ve BAĞIL HATA
HATA YAYILIMI
SAYI SİSTEMLERİ
BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİLMESİ
BİLGİSAYAR ARİTMETİĞİ
ALGORİTMALAR ve KARAKTER SAYISI
HATA HESAPLARININ KULLANILDIĞI YERLER ve HATA TAHMİN
YÖNTEMLERİ
PROBLEMLER
SERİLER
GİRİŞ
KALANIN (KESME HATASININ) TAHMİNİ. KUVVET SERİLERİ
HIZLANDIRMA YÖNTEMLERİ
İYİ TANIMLANMAMIŞ SERİLER. PROBLEMLER
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
GİRİŞ
TANIM ve KISA BİLGİLER
DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ...
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
GAUSS-JORDAN ELİMİNASYON YÖNTEMİ
LU AYIRIM YÖNTEMİ
KOMPAK ELİMİNASYON YÖNTEMLERİ
BİR MATRİSİN TERSİNİN BULUNMASI '.
DOLAYSIZ YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
HATA ANALİZİ ve ARDIŞIK İYİLEŞTİRME YÖNTEMİ
ARDIŞIK YAKLAŞIM YÖNTEMLERİ
ARDIŞIK YAKLAŞIM YÖNTEMLERİNDE YAKINSAMA
ARDIŞIK YAKLAŞIM YÖNTEMLERİNİ HIZLANDIRMA
GRADYENT YÖNTEMLERİ
ÖZEL MATRİSLER
FAZLA BELİRLENMİŞ DOĞRUSAL SİSTEMLER
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN PAKET PROGRAM
KULLANILARK ÇÖZÜMÜLMESİ
PROBLEMLER
ÖZDEĞERLER ve ÖZVEKTÖRLER
GİRİŞ
ÖZDERELERİN BULUNMASINDA DENKLEM ÇÖZÜMÜNÜ
TEMEL ALAN YÖNTEMLER
KUVVET YÖNTEMİ ve BU YÖNTEME DAYALI YÖNTEMLER...
BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜNÜ TEMEL ALAN YÖNTEMLER
SİMETRİK MATRİSLER
SİMETRİK OLMAYAN MATRİSLER
ARDIŞIK OLARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ
ÖZDEĞER ve ÖZVEKTÖRLERİN PAKET PROGRAMLAR
KULLANILARAK BULUNMASI
PROBLEMLER
DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEMLER
GİRİŞ
ARALIĞI İKİYE BÖLME YÖNTEMİ
NEWTON-RALPSON YÖNTEMİ
KİRİŞ YÖNTEMİ
MÜLLER YÖNTEMİ
REGULA FALSİ
STEFFENSEN YÖNTEMİ
GENEL İTERASYON YÖNTEMLERİ
ÇOK KATLI KÖK
ÇOK TERİMLİLER
DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEM SİSTEMİ
DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEMLERİN PAKET POGRAM
KULLANILARAK ÇÖZÜLMESİ
PROBLEMLER
İNTERPOLASYON ve EKSTRAPOLASYON
YAKLAŞIM YÖNTEMLERİ
ÇOK TERİMLİ İNTERPOLASYONU
LAGRANGE ve HERMIT İNTERPOLASYONU
NEWTON İNTERPOLASYONU
İNTERPOLASYON ÇOK TERİMLİSİNDE HATA ANALİZİ
SONLU FARK İNTERPOLASYONU
PARÇA PARÇA İNTERPOLASYON
TERS İNTERPOLASYON
HATA YAYILIMI
RASYONEL FONKSİYON İNTERPOLASYONU
ÜSTEL FONKSİYON İNTERPOLASYONU
EKSTRAPOLASYON
PROBLEMLER
EN KÜÇÜK KARELER KRİTERİ
GİRİŞ
DOĞRUSAL EN KÜÇÜK KARELER KRİTERİ
DOĞRUSAL OLMAYAN EN KÜÇÜK KARELER KRİTERİ
EN KÜÇÜK KARELER PROBLEMİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI...
ÇOKLU REGRESYON
VERİLERİN SÜREKLİ OLMASI
YAKLAŞIM PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ PAKET PROGRAMLAR
PROBLEMLER
CHEBYSHEV YAKLAŞIMI
GİRİŞ .
ORTOGONAL ÇOK TERİMLİLER
BİR FONKSİYONUN CHEBYSHEV AÇILIMI
CHEBYSHEV EKONOMİZASYONU
CHEBYSHEV İNTERPOLASYONU
EN KÜÇÜK KARELER KRİTERİNDE CHEBYSHEV
FONKSİYONLARININ KULLANILMASI
RASYONEL FONKSİYON YAKLAŞIMINDA CHEBYSHEV
FONKSİYONLARININ KULLANILMASI
SÜREKLİ VERİLERDE ORTOGONAL FONKSİYONLARININ
KULLANILMASI
PROBLEMLER
FOURIER YAKLAŞIMI
GİRİŞ
SÜREKLİ HAL
AYRIK HAL
EŞİT OLMAYAN ARALIKLI VERİLERDE YAKLAŞIM FONKSİYONU
OLARAK SİNÜS ve KOSİNÜS EĞRİSİ
FOURIER YAKLAŞIMI İLE İLGİLİ PAKET PROGRAMLAR
PRPBLEMLER
SAYISAL TÜREV
GİRİŞ
İLERİ DOĞRU FARKLAR CİNSİNDEN TÜREV İFADESİ....
GERIYE DOĞRU FARKLAR CİNSİNDEN TÜREV İFADESİ
MERKEZİ FARKLAR CİNSİNDEN TÜREV İFADESİ
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
OPTİMUM ARALIĞIN HESABI
OPERATÖR CEBRİ
KISMİ TÜREVLER
PROBLEMLER
SAYISAL İNTEGRASYON
GİRİŞ
NEWTON-COTES FORMÜLLLERİ
KOMPOZİT İNTEGRASYON FORMÜLLERİ
İNTEGRASYONDA EKSTRAPOLASYON FORMÜLLERİNİN
KULLANILMASI ve ROMBERG İNTEGRASYONU
LAGRANGE ve HERMIT İNTEGRASYONU
GAUSS İNTEGRASYONU
FİLON YÖNTEMİ....
GENELLLEŞTİRİLMİŞ (IMPOROPER) İNTEGRALLER
ÇOK KATLI İNTEGRALLER
İNTEGRAL İLE İLGİLİ PROGRAMLAR
ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMNLERDE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ
GİRİŞ
EULER ORTA NOKTA, ve TAYLOR YÖNTEMLERİ
RUN GE - KÜTTE YÖNTEMLERİ
RUNGE-KUTTE YÖNTEMLERİNDE HATA KONTROLÜ ve
RUNGE-KUTTE-FEHLBERG YÖNTEMİ
ÇOK ADIMLI YÖNTEMLER
YÖNELTİCİ-DÜZELTİCİ YÖNTEMLERİ
FARK DENKLEMLERİ, KARARLILIK ve RİJİTLİK
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ
İKİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEM
NEWMARK’IN 6 ve WİLSON’NIN 0 YÖNTEMİ
PROBLEMLER
ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMNLERDE SINIR ve ÖZDEĞER PROBLEMİ
GİRİŞ
ATIŞ YÖNTEMİ
DOĞRUSAL SINIR DEĞER PROBLEMLERİNDE SONLU FARKLAR
YÖNTEMİ
DOĞRUSAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİNDE
SONLU FARKLAR YÖNTEMİ
RAYLIGHT-RITZ YÖNTEMİ
BELİRSİZ KATSAYILAR YÖNTEMİ
ÖZDEĞER PROBLEMLERİ
ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERDE BAŞLANGIÇ ve SINIR
KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMNLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ
GİRİŞ
İKİNCİ MERTEBE ve İKİ BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLİ DENKLEMLERİN
KANONİK FORMA İNDİRGENMESİ
PARABOLİK DENKLEMLER
HİPERBOLİK DENKLEM
ELİPTİK DENKLEM
BİHARMONİK DENKLEM
DÖRDÜNCÜ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLER
PROBLEMLER
SONLU ELEMANLAR
GİRİŞ
ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER.
ELİPTİK DENKLEM
PARABOLİK ve HİPERBOLİK DENKLEMLER...
PROBLEMLER
KAYNAKÇA
DİZİN