SAYISAL ANALİZ – Behiç Çağal
ÖNSÖZ
Çağımızda, özellikle son elli yıl içinde her alanda karşılaşılan problemlerin karmaşıklığı, boyutlarının büyüklüğü, çözümlerinin kısa zamanda ve en ekonomik biçimde yapılmak istenmesi elektronik he- saplayıcıların gelişmesine paralel olarak sayısal çözüm yöntemlerinin de gelişmesine neden olmuştur. Hatta aynı türdeki problemlerin han¬gi koşullarda, hangi yöntemle çözülmesi halinde daha iyi yaklaşımla ve daha ekonomik olan sonuçların alınabileceği inceleme konusu ol¬muştur. Analitik olarak çözümleri güç hatta imkansız olan pek çok problem geliştirilen sayısal yöntemlerle hesaplayıcı kullanılmak su¬retiyle çözülmüştür.
Bu kitabın amacı öğrencilere bir ders kitabı olması yanında problemlerini sayısal yöntemleri kullanarak çözmek isteyenlere baz olacak konulan özlü bir şekilde tanıtmak ve çeşitli çözüm yöntem¬lerini, basit örnekleri FORTRAN dilinde yazılmış programlarını ver¬mektir.
Sayısal Analiz adlı bu kitap sırasıyla Sayısal Analizin Amacı, Sayısal Hesaplamalarda Doğruluk, Sonlu Farklar, Enterpolasyon, Sa¬yısal Türev Sayısal, İntegral, Matris Cebri, Lineer Cebirsel Denklem Sistemleri, Lineer Olmayan Denklemler, Adi Diferansiel Denklemler, Fark. Denklemleri ve Eğri Uydurulması konularını içerecektir.
Kitabın yazılması sırasında karşılaşılan birçok kavramın Türk¬çe karşılıklarının kullanılmasına çaba gösterilmiştir. Yine de hatalar olmuşsa hoş göreceğinizi umarım.
İstanbul -Ekim 1989
Prof.Dr.Behiç ÇAGAL
İÇİNDEKİLER
SAYISAL ANALİZİN AMACI,
SAYISAL HESAPLAMALARDA DOĞRULUK
Giriş Sayısal Analiz Nedir?
Sayısal Analizin Amacı
Sayısal Hesaplamalarda Doğruluk
Giriş
İşlemlerden Doğan (iç) Hatalar
Kesme Hataları
Yuvarlatma Hataları
Sabit Nokta Aritmetiği
Aritmetik İşlemlerde Hata Birikimi
Toplamada Hata Oluşumu
Çıkarmada Hata Oluşumu
Çarpmada Hata Oluşumu
Bölmede Hata Oluşumu
Hata Oluşumunun Grafik İşlemlerle Bulunması Problemler
SONLU FARKIAR
Giriş
Operatörler ile İlgili Temel Kavramlar
Temel Tanımlar
Operatörlerin Tanımları
İleriye Fark Operatörü
Türev ve Diferansiel Operatörü
Kaydırma Operatörü
Bir Polinomun Farkları
Fark Hesabının Temel Kuralları
Faktöreyel Fonksiyonlar
Genelleştirilmiş Faktöriyel Fonksiyonlar
Faktöriyel Polinomlar
Stirling Sayıları
İkinci Çeşit Stirling Sayıları
Farklar İçin Leibnitz Kuralı
Geriye Fark, Ortalama Fark, Bölünmüş Fark ve
Merkezi Farklar
Geriye Farklar
Ortalama Operatörü
Giriş
Gauss Eleminasyon Yöntemi
Gauss Eleminasyon Yönteminin Matris Dengi
Gauss-Jordan Yötemi
Aitken Yöntemi
Crot'un Yöntemi
Cholesky Yöntemleri
Katsayı Matrisi Üçlü Band Matris Olan Denklem
Sistemlerinin Çözümü
Katsayı Matrisinin Üçlü Simetrik Band Matris
Olması Hali
Direkt Eleminasyon Yöntemlerindeki Genel Özellikler
Köklerin Düzeltilmesi
Ardışık Tekrar Yöntemleri
Basit İterasyon
Gauss-Seidel Yöntemi
Problemler
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLER
Giriş
Lineer Olmayan Denklem İçin Çözüm Yöntemleri
Basit İterasyon Yöntemi
Yakınsamanın Mertebesi
Newton-Raphson Yöntemi
False Position Yöntemi
Bisection Yöntemi
Müller Yöntemi
Bernoulli Yöntemi
Bairstow Yöntemi
Graeffe Kök-Kare Yöntemi
Wegstain Yöntemi
Q-D Yöntemi (Quetient~Difference Algoritması) Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümü
Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümü
İçin Basit İterasyon Yöntemi
Newton Yöntemi
Steepest Descent Yöntemi
Eşlenik Gradyent Yöntemi
Problemler
Tanımlar
Farkların Hesabı
Fark Denklemleri
Homogen Fark Denklemlerinin Çözümleri
Köklerin Reel ve Biribirinden Farklı Olması Hali Katlı Kök Olması Hali
Bazı Köklerin Kompleks Olması Hali
Homogen Olmayan Lineer Fark Denklemleri
r özel Çözümlerin Bulunması
Problemler
ADI DİFERANSlEL DENKLEMLER ADİ DİFERANSİEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİ OLARAK SAYISAL ÇÖZÜMÜ
Giriş o
Yaklaşık Çözümlerin Yakınsaması
Diferansiel Denklemlerin Seriler ile Çözümü
Kuvvet Serisi ile İntegrasyon
Belirsiz Katsayılar Yöntemi
Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemin Ardışık Tekrar Yöntemi ile Çözümü
Tek Adım Yöntemleri
Euler Yöntemi
Runge-Kutta Yöntemleri
Çok Adım Yöntemleri
Açık Tip Çok Adım Yöntemleri
Kapalı Tip Çok Adım Yöntemleri
Deneme - Düzeltme Formülleri
Milne Yöntemi
Hamming Yöntemi
Birinci Mertebeden Diferansiel Denklem Sistemleri Gill Katsayılı Runge-Kutta Yöntemi
Birinci Mertebeden Diferansiel Denklem Sistemleri İçin Hamming Yöntemi
Yüksek Mertebeden Diferansiel Denklemlerin Çözümü Nystrom Yöntemi
Sayısal Yöntemlerde Kararlılık
Problemler
EĞRİ UYDURULMASI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
Giriş
En Küçük Kareler Yaklaşımı
Problemler
Kaynaklar