YAZARLARDAN BİRKAÇ SÖZ
Kısa Teori ve Çözümlü Problemlerle Matematik Analiz I'in ikinci baskısına hoş geldiniz. Size, bu kitabın ikinci baskısını sunmaktan gurur duyuyoruz. Sonraki baskılar için sizi dinleyecek ve kitabı daha iyi hale getirmek için, tavsiye ve önerilerinizi dikkate alacağız.
Bir problemin, kendine has bir çok çözüm tekniği mevcut olabilir. O nedenle, problem çözme becerisi kazanmak için, mümkün olduğunca çok pratik yapmak gerekir. Metin içinde verilen örnek problemler dikkatlice okunmalı ve anlamaya çalışılmalıdır. Bu durum, hem problemlerde ve hem de onlara başarılı yaklaşımlarda kendini göstermeye başlayacaktır.
Bir problemin çözümüne bakılmadan önce, problem denenmeli veya esas zorlukların nerede olduğunu anlamak için, en azından üzerinde düşünülmelidir. Bu şekilde çok daha fazla şey öğrenilecek ve çözümleri izlemesi daha kolay olacaktır.
Bir problemi, en kısa ve en anlaşılır şekilde çözmek önemlidir. Ancak çoğu zaman, bilgi azlığı nedeniyle, bir soruyu çözerken çok fazla seçeneğimiz olmayabilir. Konular ilerlediğinde sorununn çözümü, belki daha kolay ve bir kaç seçenekli olabilecektir.
Bölüm içinde anlatılan kavramların hemen arkasından verilen örnek(ler) ve benzer problemlerin, okuyucu tarafından anlaşılması çok zor olmayabilir. Bununla birlikte, sorunun yapısı biraz değiştiğinde, öğrenciler soruyu çözerken genelde zorlanmaktadır! Amaç, öğrencileri sıkıntıya sokan bazı zor! problemleri basitleştirmek ve onların mücadele ederek problem çözme becerilerini arttrmak olmalıdır! Böylesi sorular, mevcut bolümde geliştirilen teknikler kullanılarak çözülebilir, ancak düzenli alıştırmalardan daha fazla çaba gerektirir.
Bu çözümlü problemler kitabı, üniversitelerimizin [Fen ve Mühendislik Bölümlerinin] birinci sınıflarında okutulan, Matematik I dersinin konu başlıkları dikkate alınarak hazırlanmıştır.
Problemlerin hazırlanmasında ve çözümlerinin yapılmasında çok titiz davranılmasına rağmen, şüphesiz gözden kaçan bazı hususlar ve bazı teknik ve yazım hataları olmuş olabilir.
Hatalardan dolayı, okuyucuların affına sığınır, bu konuda ve kitabın geneli üzerine, her türlü eleştiri ve uyarılara açık olduğumuzu belirtir, ilginize teşekkür ederiz.
Salih Çelik - Sultan A. Çelik
E-mail: [email protected]
İstanbul, 2018
Mevcut kitabın hazırlanış biçimi şu şekildedir:
Her bölümün başında bazı tanım ve teoremler yer almaktadır. Onların anlaşılabilmesi için, her tanım ve teoremden sonra en az bir de örnek verilmiştir.
Kısa konu anlatımının ardından, bölüm başlığı ile lgili problemler Çözümlü Problemler başlığı altında toplu olarak verilmiştir. Bahsi geçen her bir problem, normal bir ders kitabı düzeninde, alt başlıklar altında yeniden ifade edilerek, hemen altında çözümü yapılmıştır.
Her bölümün sonuna, çok sayıda çözülecek problem konmuş ve hepsinin cevabı da, problemlerin bitiminde verilmiştir.
Bölüm 1 ve Bölüm 3 hariç diğer bölumlerde Çalışma Soruları yer almaktadır. Çözümleri, bölümün sonuna konumuştur. Diferansiyel Hesap (Bölum 2-5): Kalkulus'un bir temel problemi, değişen bir büyüklüğün değişim hızının bulunmasıdır.
İntegral Hesap (Bölüm 6-8): Değişim hızı verilen bir fonksiyonun nasıl bulunacağı veya düzlemdeki bir bölgenin alanının (hacminin, yay uzunluğunun vb) nasıl hesaplanacağı, Kalkulus'un uzun soluklu problemlerinden bazılarıdır.
Teşekkür
Mevcut kitabı dikkatlice okuyarak, muhtemel hataların en aza indirilmesinde destek olan arkadaşımız Dr. Murat TURHAN'a ve basımını özenle gerçekleştiren Birsen Yayınevi calışanları adına sayın Bahadır ALGIN'a teşekkür ederiz.
Baz Kaynak Kitaplar
Bu çözümlü problem kitabı hazırlanırken, sayısı çok az da olsa orijinal ya da şık olduğu düşünülen bazı problemler, aynen veya biraz üzerinde oynanarak aşağıda sıralanan kitaplardan alınmıştır ve sorunun bitiminde bilgi verilmiştir. Bununla birlikte, özellikle integrasyon tekniklerinde bir cok integral, yapısı itibariyle, başka bir çok kitapta da bulunabileceğinden, onlar için özel bir açıkklama yapıllmamıştır.
Kalkülüs Türü Kitaplar
Barcellos, A. and Stein S. K., Calculus and Analytic Geometry, McGraw-Hill, 1992.
Çelik, S. ve Çelik, S.A., Matematik Analiz I, Birsen Yayınevi, 2007. ( Üçüncü baskı )
Edwards, C. H. and Penney, D. E., Calculus and Analytic Geometry, Prentice-Hall, Inc., 1986. (Second edition)
Larson, R. and Edwards, B. H., Calculus: Early Transcendental Functions, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011 (Fifth edition)
Salas, S. L., Hille, E. and Etgen, G. J., One and Several Variables: Calculus, John Wiley & Sons, Inc., 2003. (Ninth edition)
Teori Ağırlıklı Kitaplar
Canuto, C. and Tabacco, A., Mathematical Analysis I, Springer-Verlag, Italy, 2010.
Kosmala, W.A.J., A Friendly Introduction to ANALYSIS, Pearson Education, Inc, 2004.
Protter, M. H. and Morrey, C. B., Modern Mathematical Analysis, Addison-Wesley Pub. Comp., Inc., 1964.
Wade, W. R., An Introduction to ANALYSIS, Pearson Education, Inc., 2004.
Problem Kitabı
Berman, G. N., A Problem Book in Mathematical Analysis, Mir Publisher, 1990.
İÇİNDEKİLER
Yazarlardan Birkaç Söz vii
Bazı Önemli Bilgiler/Tavsiyeler ix
0 ÖN BİLGİLER 1
1 FONKSİYONLAR 15
1.1 Bir Fonksiyonun Tanım Kümesini Bulmak 30
1.2 Bir Fonksiyonun Sınırlılığını Araştırrmak 33
1.3 Bir Fonksiyonun Artan-Azalanlığı 36
1.4 Fonksiyonlar Üzerine Cebirsel İşlemler 40
1.5 Bileşke Fonksiyon 41
1.6 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Üzerine Cebirsel İşlemler 42
1.7 Bir Fonksiyonun Tersini Bulmak 44
2 LİMİT 47
2.1 BELİRLİ LİMİTLER 66
2.2 0. Bölü 0 BELİRSİZLİĞİ. 67
2.2.1 Çarpanlara Ayırma 67
2.2.2 Dönüşüm Yapmak 70
2.2.3 Sağdan-Soldan Limitler 74
2.2.4 Karekök ve Eşlenik Çarpımı 77
2.3 ∞ BELİRSİZLİĞİ 81
2.4 ∞ − ∞ BELİRSİZLİĞİ 83
2.5 0 · ∞ BELİRSİZLİĞİ 87
2.6 ÜSTEL LİMİTLER 90
2.7 SIKIŞTIRMA KURALI 94
2.8 LİMİTİN TANIMI 96
2.9 BAZI ÖNEMLİ GERÇEKLER 113
3 SÜREKLİLİK 125
3.1 BİR FONKSİYONUN SÜREKLİLİĞİ 138
3.2 KAPALI ARALIK İÇİNDE SÜREKLİLİK 147
3.3 KALDIRILABİLİR SÜREKSİZLİK 148
3.4 SÜREKLİLİK TANIMININ KULLANIMI 158
3.5 DÜZGÜN SÜREKLİLİK 161
4 TÜREV 165
4.1 TÜREV TANIMI 186
4.1.1 Bir Sayı Olarak Türev 186
4.1.2 Bir Fonksiyon Olarak Türev 187
4.1.3 Bazı Transandant Fonksiyonların Türevleri 189
4.1.4 Soldan-Sağdan Türevler 194
4.2 TEĞET ve NORMAL DOĞRULAR 199
4.3 ZİNCİR KURALI 203
4.4 KAPALI TÜREV ALMA 205
4.5 TÜREV ALMA KURALLARI 210
4.6 DEĞİŞİM HIZI OLARAK TÜREV 212
4.6.1 Hız ve İvme 212
4.6.2 Serbest Düşme 213
4.6.3 Ekonomiye Uygulama 216
5 TÜREVİN UYGULAMALARI 235
5.1 ROLLE TEOREMİ 254
5.2 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ 257
5.2.1 Teoremin Doğrudan Kullanımı 257
5.2.2 Bir Fonksiyonun En Küçük ve En Büyük Değerlerini Bulmak 261
5.2.3 Eşitsizlik İspatı 262
5.2.4 Bir Fonksiyonun Sabit Olduğunu Göstermek 263
5.2.5 İki Fonksiyonun Bağlılığı 264
5.2.6 Bir Fonksiyonun Tersinin Mevcut Olduğunu Göstermek 265
5.3 ARTAN-AZALAN FONKSİYONLAR 266
5.4 MAKSİMUM-MİNİMUM DEĞERLER 268
5.4.1 Tanımın Kullanımı 268
5.4.2 I. Türev Testi 269
5.4.3 II. Türev Testi 270
5.4.4 İki Testin Mukayesesi 271
5.4.5 Uç Nokta Ekstremumlar 271
5.4.6 Mutlak Ekstremumlar 272
5.5 BAZI MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 275
5.6 KONKAVLIK ve DÖNÜM NOKTALARI 280
5.7 BELİRSİZ ŞEKİLLER 283
5.7.1 0 Bölü 0 Belirsiz Şekli 283
5.7.2 ∞ Belirsiz Şekli 285
5.7.3 Kurala Uygun Hale Getirmek 285
5.8 FONKSİYONLARDA ASİMPTOTLAR 293
5.9 BAZI EĞRİ ÇİZİMLERİ 294
5.10 LİNEER YAKLAŞIMLAR 301
6 İNTEGRAL 325
6.1 ALT ve ÜST TOPLAMLAR 347
6.2 RIEMANN TOPLAMLARI 349
6.3 BAZI BELİRLİ İNTEGRALLERİN HESABI 351
6.3.1 Elemanter Geometrinin Kulanımı 351
6.3.2 Belirli İntegralin Özelliklerinin Kullanımı 352
6.4 BİR FONKSİYONUN ORTALAMA DEĞERİ 353
6.5 TEMEL TEOREMİN KULLANIMI 354
6.5.1 İntegral İle Tanımlı Bir Fonksiyonun Türevi 354
6.5.2 Türevi Bilinen Bir Fonksiyonun Tayini 355
6.5.3 İntegrali Bilinen Bir Fonksiyonun Tayini 356
6.5.4 Limit Hesabı 356
6.6 DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME TEKNİĞİ 357
6.6.1 Belirsiz İntegraller 358
6.6.2 Belirli İntegralde Değişken Değiştirme 359
6.6.3 Belirli İntegralde Simetri 362
6.6.4 Eşitsizlik İspatında Belirli İntegralin Kullanımı 363
7 İNTEGRASYON TEKNİKLERİ 383
7.1 DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME 411
7.2 KISMİ İNTEGRASYON TEKNİĞİ 418
7.3 TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER 427
7.4 İKİNCİ DERECE POLİNOMLARI İÇEREN İNTEGRALLER 434
7.5 BASİT KESİRLERE AYIRMA 437
7.6 İMPROPER İNTEGRALLER 445
7.6.1 Sınırsız Aralıklar 445
7.6.2 Tanımsız İntegrandlar 1 449
7.6.3 Tanımsız İntegrandlar 2 453
7.6.4 İmproper İntegrallerin Karakterleri 454
7.7 sin θ ve/veya cos θ yı İÇEREN KESİRLİ İFADELER 457
7.8 HİPERBOLİK DÖNÜŞÜMLER 458
8 İNTEGRALİN UYGULAMALARI 469
8.1 ALAN HESABI 482
8.1.1 Düzlemsel Bir Bölgenin Alanı 482
8.1.2 İki Eğri Arasındaki Alan 485
8.2 HACİM HESABI 492
8.2.1 Dilimleme Tekniği 493
8.2.2 Disk Tekniği 494
8.2.3 Pul Tekniği 497
8.2.4 Silindirik Kabuk Tekniği 501
8.3 YAY UZUNLUĞU 513
8.4 BİR DÖNEL YÜZEYİN ALANI 516
İndeks 527