DİFERANSİYEL DENKLEMLER – Neşe Dernek – Ahmet Dernek
ÖNSÖZ
Bu kitap, değişik yıllarda Marmara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesinde verdiğimiz Diferansiyel Denklemler I ve II derslerinin notları gözönüne alınarak hazırlanmıştır. Kitap, haftada dört saatlik, iki yarı yıllık proğramda kullanıldığında, bazı teoremlerin ispatlarının verilmesinde güçlükler ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle, bazı teoremler ispatsız verilmektedir.
Yedi bölümden oluşan kitabın ilk üç bölümü, temel kavramları kapsadığından, aynı sırada işlenmesinin yararlı olacağına inanıyoruz. 4, 5, ve 6. bölümler isteğe göre herhangi bir sırada işlenebilir. Son bölüm, diferansiyel denklemlerin çözümleri ile ilgili Temel Varlık ve Teklik Teoremleri ve ispatlarından oluşmaktadır. İleride denklemler ile uğraşacak olan öğrencilerin bu bölümü okumaları yararlı olacaktır. Kitaba alman problemlerin sonuçları, alıştırmaların hemen arkasından verilmiştir.
Birinci bölümde, diferansiyel denklemlerle ilgili temel kavramlar verilmektedir. İkinci bölümde, birinci basamaktan diferansiyel denklem türleri ve çözüm yöntemleri verilmektedir. Üçünçü bölümde, doğrusal diferansiyel denklemler İncelenmektedir. Sabit ve değişken katsayılı denklemlerin genel çözümleri, homogen olmayan denklemlerin özel çözümlerin bulunması yöntemleri verilmektedir. Dördüncü bölüm, diferansiyel denklemlerin serilerle çözümüne ayrılmıştır. Bölüm sonunda Bessel denklemi ve Bessel fonksiyonları incelenmiştir. Beşinci bölümde, denklem sistemlerinin elerninasyon ve Gramer yöntemiyle çözümleri, matris diferansiyel denklemler ve çözümleri üzerinde durulmuştur. Altıncı bölümde, Laplace dönüşüm-leri, konvolüsyon teoremi ve sonuçları verilerek Laplace dönüşümüyle diferansiyel denklemlerin çözümleri anlatılmıştır. Yedinci bölümde, yukarıda belirtildiği gibi varille ve teklik teoremleri ile bunların ispatları verilmektedir.
Kitabın basımını sağlayan Deniz Yayınevi sahibi Sayın İsmail Hakkı Uzun'a, gösterdiği ilgiden dolayı teşekkür ederiz.
İstanbul, 1995
A. N. Dernek
A. Dernek
Kitabın 3. baskısında bazı eklerle bölümler yeniden düzenlenmiştir. Kitabın ikinci ve üçünçü basımını sağlayan Birsen Yayınevi yönetimine, gösterdiği ilgiden dolayı teşekkür ederiz.
İstanbul, 2011.
İÇİNDEKİLER
Homogen Olmayan Doğrusal Diferansiyel Denklemler Sabitlerin Değişimi Yöntemi (Lagrange Yöntemi)
Alıştırmalar
Sabit Katsayılı Homogen Olmayan Denklemler Sabitlerin Değişimi Yöntemi ile Özel Çözümlerin Belirlenmesi Alıştırmalar
Belirsiz Katsayılar Yöntemi Alıştırmalar
Cauchy - Euler Denklemleri Alıştırmalar
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SERİLERLE ÇÖZÜMÜ Kuvvet Serileri Alıştırmalar Taylor Serileri Alıştırmalar
Analitik Katsayılı Doğrusal Denklemler
Alıştırmalar
Tekil Noktalar
Alıştırmalar
Düzgün Tekil Noktada Çözümler Gerçel ve Farklı Üsler Alıştırmalar Gerçel ve Eşit Üsler
aı -aı Farkının Bir Pozitif Tam Sayı Olması Hali Alıştırmalar
Bessel Denklemi ve Bessel Fonksiyonları
Alıştırmalar
Sonsuzdaki Nokta
Alıştırmalar
Bessel Fonksiyonlarının Özellikleri ve Modifiye Bessel Fonksiyonları Alıştırmalar
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Birinci Basamaktan Difemasiyel Denklem Sistemleri Alıştırmalar
Birinci Basamaktan Doğrusal Diferansiyel Denklem Sistemleri Eleminasyon Yöntemi Cramer Yöntemi Alıştamalar
Matris Diferansiyel Denklemler ve Temel Çözümler Alıştumalar
Birinci Basamaktan İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin
Sabitlerin Değişimi Yöntemiyle Çözümü
Sabit Katsayılı Sistemler
Değişken Katsayılı Sistemler
Alıştırmalar
Yüksek Basamaktan Denklem Sistemleri Alıştırmalar
LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
Giriş
Alıştırmalar
Laplace Dönüşümünün Özellikleri
Alıştırmalar
Ters Dönüşüm
Alıştırmalar
Konvolüsyon
Alıştırmalar
Laplace Dönüşümüyle Denklem Çözümleri Alıştırmalar
VARLIK TEORİSİ
Giriş
Çözümün Varlığı Çözümün Tekliği
Başlangıç Koşullarına ve Parametrelere Bağımlılık Alıştırmalar
Laplace Dönüşümleri Tablosu
GİRİŞ
Birinci Basamaktan Diferansiyel Denklemler
Yüksek Basamaktan Diferansiyel Denklemler
Başlangıç Koşullan
Varlık ve Teklik
Birinci Basamaktan Denklemler
İkinci Basamaktan Denklemler
Alıştırmalar
BİRİNCİ BASAMAKTAN DENKLEMLER VE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar Homogen Denklemler Alıştırmalar Geometrik Problemler Alıştırmalar
Tam Diferansiyel Denklemler Alıştırmalar İntegrasyon Çarpanı Alıştırmalar
Birinci Basamaktan Doğrusal Diferansiyel Denklemler Alıştırmalar
Bemoulli Diferansiyel Denklemi Alıştırmalar
Riccati Diferansiyel Denklemi
Alıştırmalar
Özel Tipte Denklemler
Alıştırmalar
İntegrallerin Hesabı
Alıştırmalar
DOĞRUSAL DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Giriş
Doğrusallık
Alıştırmalar
Homogen Doğrusal Diferansiyel Denklemler Alıştırmalar
Sabit Katsayılı Homogen Doğrusal Denklemler
Gerçel ve Yalın Kökler Hali
Alıştırmalar
Gerçel ve Katlı Kökler Hali Alıştırmalar Kompleks Kökler Hali Alıştırmalar
DAlembert Basamak Düşürme Yöntemi Alıştırmalar