DEĞİŞMELİ HALKALAR VE MODÜLLERİ – Fethi Çallıalp – Ünsal Tekir
ÖNSÖZ
Değişmeli Halkalar Teorisi, sadece Cebirin birçok dalıyla değil, Matematiğin Sayılar Teorisi, Cebirsel Topoloji ve Fonksiyonel Analiz gibi çeşitli alanlarıyla da ilgili bir konudur. Esas kaynağı da Cebirsel Geometri ve Cebirsel Sayılar Teorisinden gelir.
Bu kitapta, Değişmeli Halkalar Teorisinin bu kadar kapsamlı konuları arasında, Teorinin temel kavramlarım ve tekniklerini vermek ve bir giriş yapmak hedeflenmiştir. Marmara Üniversitesinde, R.Y. Sharp’m "Steps in Commutative Algebra" kitabına paralel, 8 yıldır Yüksek Lisans dersi olarak vermekte olduğumuz "Değişmeli Cebir" derslerinde, gerek değişik alanlarda kariyer yapmak isteyen öğrencilerin ihtiyaçları, gerekse öğrencilerin Lisans düzeyindeki bilgilerinin farklılığı, böyle bir kitap çerçevesinde konuları sıralama ve içeriğini belirlememize neden olmuştur. Diğer taraftan, araştırmaya yeni başlayan ve gerekli olan çeşitli bilgileri toplamada güçlük çeken genç araştırmacıların da böyle bir esere gereksinim duyacaklarına inanıyoruz.
Bu kitabın amacı, Lisans eğitimini bitirmiş bir öğrencinin Yüksek Lisansa geçişini hazırlamak ve Halka ve Modüller hakkında temel kavramları vererek, bu konulardaki yayınları okuyabilmesine ve araştırma yapmasına hazır hale gelmesini sağlamaktır.
Kitap esas olarak 3 kısımdan oluşmaktadır. Birinci Kısımda, Kitabın ilk beş Bölümünde, Değişmeli Halkalar Teorisinin temel kavramları verilmiştir. Konular, okuyucunun mümkün olduğu kadar, Lisans- da görülen Soyut Cebir derslerinden sonra, kolaylıkla anlayabileceği şe-kilde, bir bütünlük içinde verilmeye çalışılmıştır. Okuyucu gene de bazı kavramlarda kendini eksik görürse, "örneklerle Soyut Cebir" kitabına bakmasını tavsiye ederiz. Kitap boyunca halkalarımız birim-li ve değişmeli olarak alınmıştır.
îkinci Kısımda, Kitabın 6-12. Bölümlerinde, Modül Teorisine yer verilmiştir. Halkalarda verilen kavramların bazıları tekrarlansa da Modüllere genelleştirmeleri yapılmıştır, özel olarak, Çarpımsal Modüller, Asal Alt Modüller ve Radikallerle ilgili Literatürde sık sık karşılaşılan bazı temel kavramlar ele alınmış ve bazı makalelerden örnekler verilmiştir.
Üçüncü Kısım, Kitabın 13-15. Bölümleri de Dedekind Bölgesi, Tam Genişlemeler ve Ayrık Değer Halkalarına ayrılmıştır. Bu kısımda, Cebirsel Sayılar Teorisine giriş oluşturan, ideallerde asal çarpanlara ayrılışın tekliği incelenmiştir. Modül teori kullanılarak, halkaların yapısı hakkında bazı örnekler verilmiştir.
Kitabın işlenişinde, mümkün olduğu kadar örneklere yer verilmiş ve bunlara benzerleri de Alıştırma olarak bırakılmıştır.
1992 yılından beri sekizinci baskısı yapılan, " Örneklerle Soyut Cebir" kitabına olan ilgi ve genç Matemetikçilerin gereksinimleri, bizi böyle bir kitabı hazırlamamıza cesaret vermiştir. Umarız ki, genç matematikçiler bu Kitapla, Cebire olan sevgilerini artırır ve Matematiğin çeşitli dallarındaki çalışmalarında yararlı olur.
Son olarak, bu Kitabın yazılışında Latex’in karmaşık uygulamaları için, sık sık yardımlarını gördüğümüz tüm arkadaşlarımıza da teşekkür ederiz.
İstanbul-2009
İÇİNDEKİLER
ÖN BİLGİLER
Sıralı Kümeler
Halka ve Alt Halkalar
İdealler
Halka Homomorfizmaları
İdeallerin Genişleme ve Kısıtlamaları
Bölüm Halkaları
ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER Asal İdealler
Asal İdeallerin Birleşimi
Halkaların Asal Spektrumu
Maksimal İdealler
Mimimal Asal İdealler
ASALIMSI AYRIŞIM
Asalımsı İdealler
Asalımsı Ayrışım
YERELLEŞTİRME
Kesir Halkaları
NOETHERIAN VE ARTINIAN HALKALAR
Noetherian Halkalar
Artinian Halkalar
MODÜLLER
Modül ve Alt Modüller
Modül Homomorfizmaları
Modüllerin Direkt Toplam ve Çarpımı
Serbest Modüller
PROJEKTİF VE İNJEKTİF MODÜLLER
Tam Diziler
Projektif Modüller .
Injektif Modüller
YERELLEŞTİRME
Kesir Modülleri
Modülün Desteği
ASALIMSI AYRIŞIM
Asalımsı Alt Modüller
Asalımsı Ayrışım
NOETHERİAN VE ARTINIAN MODÜLLER
Noetherian Modüller
Yerelleştirme ve İlgili Asallar
Destek ve ilgili Asallar
Artinian Modüller
Kompozisyon Serileri
ASAL ALT MODÜLLER
Asal Alt Modüller
ÇARPIMSAL MODÜLLER
Çarpımsal Modüller
DEDEKIND BÖLGELERİ
Dedekind Bölgeleri
TAM GENİŞLEMELER
Tam Genişlemeler
AYRIK DEĞER HALKALARI
Ayrık Değer Halkaları